Öklid Teoremi

Öklid Teoremi, dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik ile oluşan parçalar arasındaki ilişkiyi açıklayan ve benzer üçgenler kavramının gücünü ortaya koyan temel bir geometrik teoremdir. Bu yazıda Öklid Teoremi’nin h² = p·k bağıntısı üzerinden geometrik ispatı adım adım ele alınmakta, benzerlik ilişkileri açıklanmakta ve teoremin Pisagor Teoremi ile olan bağlantısı sade ve sistematik bir anlatımla gösterilmektedir.

Dik üçgende kenarlar ve yükseklikler arasındaki ilişkiyi ortaya koyan Öklid Teoremi, benzerlik fikrinin ne kadar güçlü olduğunu gösteren klasik örneklerden biridir. Bu ispatta amaç yalnızca teoremi doğrulamak değil, geometrik ilişkilerin nasıl sistematik olarak kurulduğunu görmek olacaktır.

Öklid Teoremi dik üçgende hipotenüse dik indirildiğinde uygulanabilir.

Öklid Teoremi h2 = p.k eşitliğini söyler.

İspat:

1. Açı İsimlendirmesi:

a. BAD açısı = ∝

b. DBA açısı = β

c. ∝ + β = 90 derece

d. DAB açısı + CBD açısı = 90 derece

i. DAB açısı = β

ii. 90 - β = ∝

iii. BCD açısı = β

2. Benzerlik:

a. BDA üçgeni ve CSB üçgeninin üç açısı da aynıdır.

i. BDA üçgeni ve CBD üçgeni benzerdir.

b. Benzerlik oranı:

i. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır,

3. Sonuç:

a. Benzerlik oranındaki eşitlikte çapraz çarpım yapılınca eşitliği çıkar ve teorem ispatlanmış olur.